Café Scientifique Guadalajara

Thursday, December 09, 2004

Y ¿qué hay de los hoyos negros?

por Peter Hannan

La idea básica de un hoyo negro es relativamente sencilla, y no requiere la física moderna. Basándose en la física Newtoniana, el Rev. John Michell en el siglo 18 calculó el tamaño de la masa que se requeriría para impedir que la luz escape de su campo gravitacional. Newton sabía que la gravitación desviaba la luz, sólo se equivocó en cuánto (y se requirió de instrumentos del siglo 20 para poder medir el error); lo demás fue fácil. El estimado de Michell de la masa requerida era de unas cuantas masas solares, trabajando con estimados aproximados tanto de la masa del sol como de la velocidad de la luz: con las mediciones modernas de las dos cantidades, y con la Relatividad General de Einstein, la masa requerida es de 3.4 masas solares colapsadas casi a un punto.

Teoría vindicada

a) Hoyos negros

Los hoyos negros aparecen como una consecuencia natural de la Relatividad General de Einstein: el campo gravitacional que producen las masas se explica como una distorsión del espacio-tiempo, las masas tuercen el espacio-tiempo en su alrededor y otras masas siguen estas curvas del espacio-tiempo en sus movimientos, a la misma vez añadiendo sus propias distorsiones. Este espacio-tiempo curvo contiene energía, que a su vez (por que la energía es equivalente a la masa en la Relatividad Especial: e = mc 2 ) aumenta la distorsión del espacio-tiempo – fue este efecto particular, que no se tomó en cuenta en la teoría de Newton, de la energía extra y su efecto gravitacional, en el espacio-tiempo distorsionado cerca del sol, que permitió a Einstein calcular correctamente la variación (precesión) en la órbita de Mercurio. De esta explicación de la gravitación como la curvatura del espacio-tiempo, sigue que si el espacio-tiempo se tuerce suficientemente (cerca de una masa suficientemente grande), nada puede escapar, ni siquiera la luz.

El primer trabajo detallado dentro de la teoría moderna de la gravitación lo hizo Karl Schwarzchild, quien calculó las propiedades de hoyos negros estacionarios, introduciendo la noción del horizonte de eventos y de la singularidad. El horizonte de eventos es la superficie de una esfera alrededor de un hoyo negro definida por el hecho de que cualquier materia o energía que pase este horizonte hacia adentro nunca puede escapar; la singularidad es un punto al centro del hoyo negro donde se concentra toda la masa, distorsionando el espacio-tiempo tan extremadamente que la Relatividad General ya no se puede usar para calcular qué pasa (esto se puede ver de manera sencilla si nos preguntamos, ‘¿Qué quiere decir que cualquier cantidad de masa se concentra en un punto de cero dimensiones?’ – la densidad sube hasta la infinidad, así como la temperatura, y conforme que uno se acerque a este punto, la fuerza gravitacional también sube a la infinidad). Más tarde, Kerr calculó las propiedades de hoyos negros en rotación, lo cual era un caso más realista físicamente, dado que todos los objetos en el universo conocido tienen algún movimiento rotacional: estas propiedades impulsaron a John Wheeler a acuñar la frase, ‘los hoyos negros no tienen pelo’, es decir, no hay evidencia directamente visible de un hoyo negro, éste no tiene ningún efecto en el resto del universo (aparte de que afuera del horizonte de eventos, los objetos responden a su gravitación (distorsión del espacio-tiempo) de la misma manera exactamente como a cualquier otro objeto de esa masa, digamos una estrella supermasiva que no ha colapsado).

En los primeros años de los ’70, Stephen Hawking estuvo trabajando en los hoyos negros para su doctorado; el trabajo sobre hoyos negros hasta ese entonces se había hecho dentro de la Relatividad General, que es una teoría clásica, es decir, no-cuántica. Hawking introdujo teoría cuántica, y encontró un efecto interesante: los hoyos negros podían emitir partículas, que significaba que tenían una temperatura. Si por definición los hoyos negros no permitían que nada escapara de sus horizontes de eventos, ¿cómo podían emitir partículas? La gravitación cerca de un hoyo negro (la distorsión del espacio-tiempo) es tan intensa que existe suficiente energía en el vacío en su alrededor para causar que unas de las partículas virtuales que existen en el vacío se hagan reales (e = mc 2 ): tales partículas vienen en pares, para conservar varias cantidades cuánticas como la carga eléctrica (por ejemplo, si hay suficiente energía para materializar dos partículas tipo electrón, una es un electrón con carga negativa normal, mientras la otra es su contraparte de anti-materia, un positrón, con carga positiva; las dos cargas se cancelan, reteniendo la carga neutral original en el área), pero una de las partículas cae hacia el hoyo negro y cruza el horizonte de eventos, mientras la otra se va en la otra dirección, hacia el espacio. De esta manera, los hoyos gradualmente pierden energía. A Hawking no le gustó esta conclusión, y mucho menos la propuesta de Jakob Bekenstein que por eso los hoyos negros tenían entropía (la entropía es una cantidad precisa relacionada con la cantidad de desorganización en un sistema – nunca se reduce, aunque se puede mover de un lado a otro y permite que la entropía sea reducida en algunas partes de un sistema, siempre y cuando el total siga igual o se aumente). La propuesta fue más lejos: la entropía de un hoyo negro se medía por, o se representaba por, o consistía en, el área de superficie del horizonte de eventos. Después de varios intercambios bruscos, Hawking concedió: los hoyos negros tienen entropía, que se representa en su área de superficie, e interactúan con su entorno. En este sentido se volvieron (en la teoría) más parecidos a otros objetos físicos.

Todo este trabajo fue puramente teórico: nadie había visto jamás a un hoyo negro, y muchos cosmólogos y otros físicos consideraban que el trabajo era meramente una exploración de las posibilidades en una teoría.

Pero en 1966 astrónomos en Cambridge habían descubierto lo que llamaban cuásares, objetos cuasi-estelares, fuentes de energía inmensamente potentes ubicadas a altos desplazamientos al rojo (distancias inmensas). Estas fuentes parecían estrellas, pero para que aparecieran tan enérgicas a las distancias enormes que se les medían, tenían que ser gigantescas en proporción, emitiendo más energía que una galaxia entera desde una área relativamente pequeña. Durante los ’70 y los ’80, se iban descubriendo más y más de estas fuentes, y, con la resolución aumentada de los telescopios, se identificaron como las regiones centrales de galaxias lejanas. ¿Cuál proceso físico podría producir tales energías enormes en un volumen pequeño del espacio?

A la misma vez, la astronomía iba extendiendo su visión a otras partes del espectro electromagnético, además de la de la luz visible. El centro de nuestra galaxia está oscurecido de la visión normal por nubes gigantescas de gas y polvo, pero éstas son bastante transparentes a la luz infra-roja, capturada por telescopios del infra-rojo. Lo que se descubrió fue sorprendente: una población densa de estrellas orbitando un objeto invisible en el centro, pero orbitando a velocidades muy altas, que implicaban una masa de alrededor de un millón de soles en un volumen pequeño de espacio. ¿Qué tipo de objeto podría tener tanta masa, pero estar invisible en todas las longitudes de onda?

La respuesta a las dos preguntas parece ser, hoyos negros.

En el caso de cuásares y galaxias activas, estamos viendo galaxias jóvenes (acuérdate que mientras más lejos en distancia vemos, más lejos en la historia del universo vemos, como la luz dura un tiempo finito en viajar cierta distancia) donde cantidades enormes de materia están cayendo hacia el hoyo negro supermasivo central. Antes de cruzar el horizonte de eventos, esta materia es acelerada a velocidades cerca de la de la luz por la gravitación del hoyo negro, y es comprimida y calentada mientras se aprieta en el volumen relativamente pequeño del disco de accreción del hoyo negro – como el hoyo negro está girando, forma un disco bastante plano alrededor de su ecuador, en lugar de una esfera – y esta aceleración y calentamiento es lo que libera las cantidades tan inmensas de energía que la podemos ver tras miles de millones de años luz.

En el caso de nuestro centro galáctico, parece que actualmente no hay mucha materia cayendo al hoyo negro (la región en su alrededor ha sido barrida de gas difuso y nubes de polvo), tal vez por la edad de la galaxia, como diez billones de años; pero las estrellas que habitan la región central están orbitando una masa grande, algunas en órbitas bastante circulares, otras en órbitas muy elípticas.

Desde el tiempo de estos descubrimientos, se han encontrado hoyos negros por medio de su influencia gravitacional sobre otros objetos en su alrededor; algunos tienen órbitas bastante regulares alrededor del centro de la galaxia, pero lejos de él; otros tienen órbitas elípticas, o movimientos propios que no parecen ser órbitas como tal.

Mientras, la astrofísica tomaba grandes pasos, una vez que los mecanismos básicos de fusión estelar y auto-gravitación fueran comprendidos. Se entendió a los hoyos negros como resultado inevitable del colapso gravitacional de cualquier estrella que, al fin de su ciclo de vida, se quedaba con más de alrededor de 3.4 masas solares. Como las generaciones tempranas de estrellas en nuestra galaxia fueron muy masivas, típicamente 100 veces la masa del sol, se predijo la existencia de grandes números de hoyos negros de masa estelar. La dinámica de colisiones entre hoyos negros fue explorada, y se esclareció cómo se podían formar hoyos negros supermasivos.

Muy recientemente, en el último año más o menos, hemos empezado a tener un vistazo de la importancia de los hoyos negros en el desarrollo de las galazias y, por ende, la vida: observaciones de galaxias con hoyos negros activos parecen mostrar que esta misma actividad provoca, o al menos está asociada con, épocas de formación de estrellas a gran escala: y este proceso contínuo de formación de estrellas es lo que siembra una galaxia con los elementos necesarios para los planetas y los seres vivos.

Hace dos semanas (el 22 de noviembre) se anunció el descubrimiento por el telescopio de rayos-X Chandra de un hoyos negro supermasivo a una distancia de 12.7 billones de años luz, es decir que un billón de años después del inicio del universo ya existían hoyos negros supermasivos. Este hecho requiere unos cambios importantes en los modelos de formación de galaxias, y en general de la distribución de la materia en el universo temprano.

b) Estrellas neutrón

Durante el mismo período, otro fenómeno raro fue descubierto por Jocelyn Bell en Cambridge: los pulsares. Estos eran fuentes en ondas de radio que ‘se prendían y se apagaban’ con regularidad precisa, varias veces por segundo. Cuando por primera vez fueron descubiertos, se les etiquetaba con LGM y un número, ‘LGM’ para ‘Little Green Men’ (‘hombrecitos verdes’), como la regularidad precisa de las señales sugería una fuente inteligente. Muchos estaban en nuestra propia galaxia.

Los mismos avances en astrofísica teórica que iluminaron cómo los hoyos negros podían formarse ayudaron a explicar los pulsares. Cuando una estrella llega al fin de su vida, es decir, se le acaba el material para el proceso de fusión que produce energía y la sostiene contra la auto-gravitación de su masa, se colapsa: ¿existe algo que pueda resistir este colapso?

Sí lo hay, dependiendo de la masa (y de ahí la fuerza de la auto-gravitación) de la estrella. Si la estrella tiene alrededor de una masa solar o menos, el colapso es resistido por las fuerzas electromagnéticas entre los átomos (los electrones en las capas exteriores de los átomos son todos negativos eléctricamente, y se repelen con una fuerza que se define en la ley de Coulomb), las que son iguales a, o mayores que, la fuerza del colapso gravitacional: en este caso, la estrella al término de su vida se vuelve una enana blanca o morrón, brillando débilmente por la energía que produce el colapso gravitacional. La materia de la estrella todavía consiste de átomos, aunque en un estado altamente comprimido y denso en comparación con el del sol.

Si una estrella tiene arriba de cómo 1.4 masas solares, al fin de su vida su auto-gravitación está suficientemente fuerte para vencer a la fuerza Coulomb entre átomos, y estos se colapsan, los electrones siendo empujados hacia el núcleo, donde combinan con los protones para formar neutrones. Esto produce un estado de materia muy exótico, que consiste principalmente de neutrones. La densidad de este estado es inmensa: el radio de las capas de electrones de un átomo normal es como 100,000 veces el radio del núcleo (entonces el volumen de un átomo es como 4.12 x 10 15 veces el volumen del núcleo), así que la densidad de la ‘sopa de neutrones’ es como 4,000,000,000,000,000 veces la densidad de la materia que nos es conocida. Como dicen, una cucharadita de la materia de una estrella neutrón tendría la masa de una montaña terrestre. La masa entera de la estrella está concentrada en una esfera de radio de entre 10 y 15 km. La estructura exacta de una estrella neutrón todavía es cuestión de discusión teórica y pruebas experimentales: dado que la fuerza gravitacional varía notablemente con una distancia pequeña en tales concentraciones de materia, parece probable que una estrella neutrón consista de varias capas. En el mero centro, podría haber, no una sopa de neutrones, sino una sopa de quarks aislados; luego una región de sopa de neutrones; y en la superficie una capa delgada de materia más ‘normal’.

Una estrella muerta así tiene propiedades muy impactantes: primero, aunque los neutrones son neutros eléctricamente, todavía tienen un momento magnético, así que el campo magnético alrededor de tal concentración de materia es extremadamente intenso, afectando a su entorno a distancias de años luz; segundo, el colapso de la estrella original produce un giro muy rápido – esto es lo que produce el efecto de pulsos, el centro girando jala rapidamente al campo magnético, lo que acelera las partículas y radiación en un rayo enfocado, y este rayo de energía es lo que percibimos, con cada revolución de la estrella. Tercero, el campo gravitacional cerca de la estrella es tan fuerte que la luz se dobla por algo como 30%, así que ver a una estrella neutrón de cerca involucraría ver a una buena parte de la superficie de la estrella que estaría escondida en un objeto de una masa más familiar girando a una velocidad más familiar, además de una buena parte del campo de estrellas detrás de la estrella neutrón. Cuarto, la fuerza de gravedad en la superficie de la estrella (alta masa, corta distancia del centro) tiene el efecto que la superficie es increíblemente lisa (‘montañas’ tendrían como un milimetro de altura) y cualquier materia que impactara con la superficie (gas del espacio alrededor, por ejemplo) liberaría megatoneladas de energía.

Las observaciones astronómicas modernas han confirmado esta imagen: sí existen de hecho objetos en el espacio que no sólo tienen giros de varias veces por segundo, sino también tienen campos magnéticos fuertes y una gravitación inmensamente fuerte (muchas estrellas neutrón forman parte de sistemas binarios, donde la órbita de la estrella compañera permite mediciones precisas de la masa de la estrella neutrón).

¿Cuál es la fuerza que sostiene una estrella neutrón contra el colapso gravitacional? Aquí tenemos que entrar en la mecánica cuántica. Una manera de clasificar las partículas sub-atómicas es por su giro, que es un múltiple de la constante de acción de Planck (¡ni hablar!): en esta clasificación, hay dos tipos de partícula, las que tienen giro integro (llamadas bosones) y las que tienen giro no-integro (llamadas fermiones): bosones bien conocidos incluyen los fotones, que transmiten la fuerza electromagnética, y constituyen la luz, los portadores W y Z de la fuerza débil, los gluones que transmiten la fuerza fuerte, y los gravitones (todavía no detectados) que transmiten la fuerza gravitacional; fermiones bien conocidos son los protones, neutrones, electrones y neutrinos – y los quarks. A los bosones les ‘gusta’ congregarse en el mismo estado en el mismo lugar, de ahí los láseres y varios otros efectos interesantes; a los fermiones les ‘choca’ estar en el mismo estado en el mismo lugar de otros fermiones, de ahí los electrones, por ejemplo, no caen en el núcleo bajo la atracción que sienten de los protones, por que tendrían que congregarse en el mismo estado y lugar.

Los neutrones son fermiones, y así resisten congregarse tanto que estén en el mismo lugar y estado (a las densidades de que estamos hablando, ‘lugar’ se vuelve un concepto cuántico, sujeto al Principio de Incertidumbre de Heisenberg). Esta resistencia es lo que sostiene la estrella neutrón contra su propia auto-gravitación. Pero hay un límite: si la masa de la estrella sobrepasa como 3.4 masas solares, aún esta resistencia última se ve vencida por la gravedad: no existe nada más en la naturaleza para resistir el colapso, y la masa sigue cayendo hacia su centro, creando la singularidad en el corazón de un hoyo negro.

Así que tenemos una explicación coherente de lo que resulta a la muerte de una estrella (cuando se acabe su combustible), dependiendo sólo de su masa: y los tres resultados, estrella enana, estrella neutrón u hoyo negro, ahora (sólo en los últimos 10 años y algo) tienen evidencia empírica abrumadora de su existencia.

El valor de la teoría

El punto de veras impactante e importante de esta historia es el papel de la teoría: desde 1915, la Relatividad General de Einstein contenía adentro de sí la idea de los hoyos negros, una idea que cobró sustancia poco a poco en los siguientes 60 años. Durante todo este tiempo, no se hizo ninguna conexión con observaciones físicas del universo: pero ahora, la evidencia por hoyos negros y estrellas neutrón es abrumadora, y son ideas claves en la explicación de una amplia variedad de fenómenos observados.

En principio, hubiera sido posible ir en búsqueda de evidencia de los hoyos negros y las estrellas neutrón mucho antes de los ’70. ¿Por qué no sucedió? Por que en la ciencia también, como en la vida cotidiana, existe, o existía, un sentido de desdeño por la teoría – ‘es sólo una teoría’. Pero si una teoría ha producido unos resultados buenos – si ha hecho unas predicciones claras que fácilmente podrían estar equivocadas, y que se pueden comprobar – y si ha pasado la prueba, debemos tomar en serio qué más dice. No quiero decir que debemos aceptarla como algún tipo de dogma incuestionable (Einstein, un anarquista natural y anti-autoritario de toda su vida, se quejaba que ‘Me han hecho una autoridad’), sino que debemos tener suficiente confianza para ir a buscar las otras cosas que la teoría predice. Una buena teoría que podría ser correcta o equivocada es increíblemente valiosa, en contraste con las ideas charlatanes que vienen a dos por un peso y ‘ni siquiera están equivocadas’ (es decir, no hay manera ni siquiera de comprobar si están correctas o equivocadas).

Esta actitud, de tomar la teoría en serio, por cierto se está haciendo más dominante en la ciencia, lo que es bueno: en la física sub-atómica, por ejemplo, los experimentalistas regularmente buscan a sus colegas teóricos para ideas de qué deben investigar, de hecho construyen equipos de 1,000 millones de dólares a base de ideas teóricas.

Desafortunadamente, esta actitud todavía no está bien difundida entre el público general: la mayoría de la gente, mientras apoya de boquilla a la evolución por selección natural, no toma en serio sus implicaciones múltiples para la naturaleza y el propósito de la vida humana, ni para nuestra relación real con todos los demás seres vivos; mucho menos piensa la gente de sí misma como entidades cuánticas en un multiverso cuántico, o toma la comprensión moderna del desarrollo del conocimiento científico como un modelo para sus propios esfuerzos por aprender.

Gente que en otros aspectos es inteligente y buena da su acuerdo crédulo a cosmovisiones y supersticiones antiguas y descomprobadas – astrología, palmistría, auras, otros tipos de ‘adivinanza’, viajes astrales; reencarnación y ‘mejoramiento’ automático; telepatía, espíritus, ángeles; para no mencionar las cosas más oficiales, como milagros, curas espontáneas, agua mágica (‘bendita’), rezos a santos y vírgenes; y todo tipo de fatalismo.

Supongo que la gente lo quiere fácil: cuestionar, vivir con la duda y la incerteza, sostener las ideas ligeramente hasta que demuestren su valor, esto no es fácil. Si hacemos esto, tenemos que reconocer nuestra debilidad, nuestra ignorancia, nuestro control limitado. Pero si lo queremos fácil, y nos aferramos fuertemente a un sistema que pretende tener todas las respuestas, perderemos algo increíblemente valioso: el encontrar algo realmente, fundamentalmente asombroso y maravilloso. La naturaleza nos ofrece todo eso, si estamos dispuestos a hacer el trabajo, sea subir a una montaña y ver una vista sin paralelo, o prestar atención detenida a alguna especie de animal y descubrir su mundo, o calcular qué podrían ser los hoyos negros, sólo para descubrir que de veras existen.

7 Comments:

  • estoy de acuerdo con todo lo que se dice en este texto en especial con el hecho de que muchas personas se conforman con las falsas respuestas dan algunas religiones sobre el desarrollo del universo y la vida en este, se conforman solo con saber que es "obra de dios" y que solo el tiene el control sobre este basto sistema. pero tinen la capacidad de pensar que esas ideas vienen de epocas en que el hombre no solo no tenia conoicimiento cientifico suficiente para analizar su entorno mucho menos para manipularlo, al grado en que es posible en la actualidad. y buscaban respuestas a los fenomenos que percibian y claro lo mas factible para ellos era atribuirle el poder a seres divinos con fuerzas sobrenaturales. y lo peor es que las personas siguan conservando estas ideas que muchas veces inpiden el avance de la ciencia ya sea por que muchos de los descubrimientos contradicen sus falsas afirmaciones, solo para dar un ejemplo podria citar el caso de la clonacion que se be obstruida y no se permite su desarrollo a causa de muchas doctrinas que la acusan de ir en contra de dios o dioses (como son muchos). deberiamos de entender que el ser humano es afortunado al haber adquirido la capacidad de manipular y comprender a tal grado su propia naturaleza que adquirio el poder para cambiar la forma natural de consevir la vida.

    By Anonymous Anonymous, at 6/15/2005 12:06 PM  

  • estoy de acuerdo con todo lo que se dice en este texto en especial con el hecho de que muchas personas se conforman con las falsas respuestas dan algunas religiones sobre el desarrollo del universo y la vida en este, se conforman solo con saber que es "obra de dios" y que solo el tiene el control sobre este basto sistema. pero tinen la capacidad de pensar que esas ideas vienen de epocas en que el hombre no solo no tenia conoicimiento cientifico suficiente para analizar su entorno mucho menos para manipularlo, al grado en que es posible en la actualidad. y buscaban respuestas a los fenomenos que percibian y claro lo mas factible para ellos era atribuirle el poder a seres divinos con fuerzas sobrenaturales. y lo peor es que las personas siguan conservando estas ideas que muchas veces inpiden el avance de la ciencia ya sea por que muchos de los descubrimientos contradicen sus falsas afirmaciones, solo para dar un ejemplo podria citar el caso de la clonacion que se be obstruida y no se permite su desarrollo a causa de muchas doctrinas que la acusan de ir en contra de dios o dioses (como son muchos). deberiamos de entender que el ser humano es afortunado al haber adquirido la capacidad de manipular y comprender a tal grado su propia naturaleza que adquirio el poder para cambiar la forma natural de consevir la vida.

    By Anonymous Anonymous, at 6/15/2005 12:07 PM  

  • estoy de acuerdo con todo lo que se dice en este texto en especial con el hecho de que muchas personas se conforman con las falsas respuestas dan algunas religiones sobre el desarrollo del universo y la vida en este, se conforman solo con saber que es "obra de dios" y que solo el tiene el control sobre este basto sistema. pero tinen la capacidad de pensar que esas ideas vienen de epocas en que el hombre no solo no tenia conoicimiento cientifico suficiente para analizar su entorno mucho menos para manipularlo, al grado en que es posible en la actualidad. y buscaban respuestas a los fenomenos que percibian y claro lo mas factible para ellos era atribuirle el poder a seres divinos con fuerzas sobrenaturales. y lo peor es que las personas siguan conservando estas ideas que muchas veces inpiden el avance de la ciencia ya sea por que muchos de los descubrimientos contradicen sus falsas afirmaciones, solo para dar un ejemplo podria citar el caso de la clonacion que se be obstruida y no se permite su desarrollo a causa de muchas doctrinas que la acusan de ir en contra de dios o dioses (como son muchos). deberiamos de entender que el ser humano es afortunado al haber adquirido la capacidad de manipular y comprender a tal grado su propia naturaleza que adquirio el poder para cambiar la forma natural de consevir la vida.

    By Anonymous Anonymous, at 6/15/2005 12:07 PM  

  • ESTOY DE ACUERDO CON QUE EL HOMBRE ES UN SER CON CAPACIDAD DE RAZONAR Y DOMINAR MUCHAS COSAS .PERO NO CREES QUE EINSTEIN PERDIO BASTANTE TIEMPO DE SU VIDA TRATANDO DE DECIFRAR UNA TEORIA ABSOLUTA , LA CUAL NO CONCLUYO, EFECTIVAMENTE DIOS NO JUEGA A LOS DADOS , Y ESTOY SEGURA DE QUE TODO TIENE UNA EXPLICACION ,PERO QUIZA NO HUMANA. SIGUE INVESTIGANDO TAL VEZ MANANA

    By Anonymous Anonymous, at 3/08/2006 9:17 AM  

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    By Anonymous pylesosblog.ru, at 11/20/2011 2:42 PM  

  • By Blogger dong dong23, at 7/05/2016 8:44 PM  


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